1 八点法计算F矩阵（基础矩阵）
基础矩阵用于描述两个视图之间的几何关系
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基础矩阵：基础矩阵 $F$ 是描述两个视图之间相机投影关系的矩阵。对于两个对应的图像坐标点 $(x, y, 1)$ 和 $(u, v, 1)$ 在两个视图上，基础矩阵满足以下方程：
这个方程即对极约束，描述了图像中对应点的投影关系
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线性系统：对于多对对应点，可以构建一个线性方程系统 $Af = 0$ ，其中 $A$ 是由对应点生成的矩阵， $f$ 是基础矩阵的扁平形式
上述方程即：
展开得到：
\[\begin{bmatrix} ux&vx&x&uy&vy&y&u&v&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}f_{11} \\ f_{12} \\ f_{13} \\ f_{21} \\ f_{22} \\ f_{23} \\ f_{31} \\ f_{32} \\ f_{33} \\ \end{bmatrix} = 0\] 这个矩阵方程可以表示为 $A_if = 0$
为了解出这个9个未知数的 $f$ ，我们至少需要8对点，所以叠加 $A_i$ 得到 $A$ 矩阵
\[A = \begin{bmatrix} x_1u_1 & x_1v_1 & x_1 & y_1u_1 & y_1v_1 & y_1 & u_1 & v_1 & 1 \\ x_2u_2 & x_2v_2 & x_2 & y_2u_2 & y_2v_2 & y_2 & u_2 & v_2 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_8u_8 & x_8v_8 & x_8 & y_8u_8 & y_8v_8 & y_8 & u_8 & v_8 & 1 \end{bmatrix}\]-
最小二乘法：通过奇异值分解（SVD），取 $V^T$ 的最后一列作为估计矩阵 $A$ 的最小二乘解，即 $f$
方程的最小二乘解有一个既定的结论，即对 $A$ 进行SVD分解，得到的 == $V^T$ 的最后一行== 即是 $f$ 的解
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基础矩阵还原：将 $f$ reshape 为 $3 \times 3$ 的矩阵，然后通过奇异值分解（SVD）对矩阵进行调整，以确保基础矩阵的秩为2
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SVD分解： 对矩阵 $F$ 进行奇异值分解：$F = U \Sigma V^T$ ，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵
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秩-2约束： 将奇异值矩阵 $\Sigma$ 调整为仅保留前两个奇异值（将第三个奇异值设为0），以确保基础矩阵的秩为2
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重构基础矩阵： $F = U \Sigma’ V^T$
F = f.reshape((3, 3)) # 对F进行SVD分解 U, S, Vt = np.linalg.svd(F) # 将奇异值矩阵Sigma调整为仅保留前两个奇异值（第三个设为0） S[2] = 0 # 重构基础矩阵F F = np.dot(U, np.dot(np.diag(S), Vt)) -
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归一化：对基础矩阵进行归一化，以确保尺度的一致性
2 标准化八点算法
对普通的八点算法进行了改进，通过标准化输入数据，提高了算法的稳健性和准确性
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我们首先将对应点标准化为零均值和单位方差，以消除尺度的影响
mean1 = np.mean(keypoints1, axis=0) mean2 = np.mean(keypoints2, axis=0) std1 = np.std(keypoints1, axis=0) std2 = np.std(keypoints2, axis=0) # 防止除0，由于齐次坐标，标准差std算得最后一项为0 std1[2] = 1 std2[2] = 1 nomalized_points1 = (keypoints1 - mean1) / std1 nomalized_points2 = (keypoints2 - mean2) / std2
也等于左乘一个转换矩阵 $T$ ：
\[T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_x} & 0 & -\frac{\mu_x}{\sigma_x} \\ 0 & \frac{1}{\sigma_y} & -\frac{\mu_y}{\sigma_y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]-
在这些标准化点上运行八点算法
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最后对得到的基本矩阵进行反变换，在计算基础矩阵后，需要将其进行撤销标准化处理，以获得最终的基础矩阵
3 三角测量
我们有两个相机，它们的c分别为 $P_1$ 和 $P_2$ （ $3 \times 4$ 矩阵）。
\[P = K\begin{bmatrix}R|t\end{bmatrix}\]对于一个在相机1和相机2中分别观察到的同一物体的对应点 $\tilde x_1$ 和 $\tilde x_2$ （齐次坐标 $3 \times 1$ 向量） ，我们可以得到以下方程：其中，$\tilde X$ （齐次坐标 $4 \times 1$ 向量）是物体在三维空间中的坐标
\[P_1 \tilde X =\tilde x_1\\ P_2 \tilde X =\tilde x_2\]将 $P$ 分解为三个向量：
\[\displaylines{ P_i =\begin{bmatrix}P_{i1}\\ P_{i2} \\ P_{i3} \end{bmatrix} \\ P_{i1} = [p_{11}, p_{12}, p_{13}, p_{14}] \\ P_{i2} = [p_{21}, p_{22}, p_{23}, p_{24}] \\ P_{i3} = [p_{31}, p_{32}, p_{33}, p_{34}] \\ }\]这样，原等式就变为：
\[\begin{bmatrix}P_{i1}\tilde X \\ P_{i2}\tilde X \\ P_{i3}\tilde X\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x_i \\ y_i \\ 1\end{bmatrix}\]将左边向量齐次化除以第三个元素，与右边向量元素一一对应：
\[\displaylines{ P_i \tilde X = \begin{bmatrix} \frac{P_{i1} \tilde X}{P_{i3}\tilde X} \\ \frac{P_{i2} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_i \\ y_i \\ 1 \end{bmatrix} = \tilde x_i \\ x_i = \frac{P_{i1} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \Rightarrow x_iP_{i3} \tilde X-P_{i1} \tilde X = 0 \\ y_i = \frac{P_{i2} \tilde X}{P_{i3} \tilde X} \Rightarrow y_iP_{i3} \tilde X-P_{i2} \tilde X = 0 }\]由于我们知道 $x_1$ 、 $x_2$ 和 $P_1$ 、 $P_2$ ，我们可以将其转化为一个齐次线性方程组：
\[\displaylines{ A_1 = \begin{bmatrix} x_1 P_{13} - P_{11} \\ y_1 P_{13} - P_{12} \end{bmatrix} \\ A_2 = \begin{bmatrix} x_2 P_{23} - P_{21} \\ y_2 P_{23} - P_{22} \end{bmatrix} \\ A = \begin{bmatrix}A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \\ A\tilde X = 0 }\]A = np.array(
[keypoint1[0] * P1[2] - P1[0],
keypoint1[1] * P1[2] - P1[1],
keypoint2[0] * P2[2] - P2[0],
keypoint2[1] * P2[2] - P2[1]]
)
这样我们就可以使用最小二乘法或其他方法来解决这个线性方程组，从而找到物体的三维位置 $X$
# DLT算法解决最小二乘法
_, _, Vt = np.linalg.svd(A)
x_w = Vt[-1]
x_w = x_w / x_w[3] # 齐次坐标