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1 实现效果

二维的弹性物体最终实现的效果如下：

2 实现过程

2.1 一维弹性物体模拟

2.1.1 质点类（Mass）

质点类（Mass）是用于表示弹性物体中的单个质点的关键组件之一。在这个类中，我们记录了质点的基本信息，包括质量、位置、速度和受力。下面是对质点类中关键成员和方法的说明：

• float m: 质点的质量。质量决定了质点对外力的响应程度。
• Vector3D pos: 质点在空间中的位置。位置向量用来描述质点的位置。
• Vector3D vel: 质点的速度。速度向量表示质点在各个方向上的运动速度。
• Vector3D force: 质点所受的外力。在每个时间步长内，质点可能受到多个外力的作用，这些外力的向量和即为质点所受的总外力。

以下是质点类中的关键方法：

• applyForce(Vector3D force)：用于将外力应用于质点上。在一段时间内，可能会有多个外部力作用于质点上，因此我们将这些外力向量相加，得到质点所受的总外力。
• init()：初始化方法，将质点的外力值设为零。在每个时间步长开始时，我们需要将质点的外力重置为零，以便计算新的外力。
• simulate(float dt)：模拟方法，根据质点所受的外力和牛顿运动定律，计算质点在时间步长 dt 内的新位置和新速度。这里采用了欧拉方法（Euler Method）进行数值积分，它虽然简单但通常足够用于大多数物理模拟。

质点类是模拟弹性物体运动过程中的基础，通过不断更新质点的状态，我们可以模拟出弹性物体在外力作用下的运动行为。

2.1.2 弹簧类（Spring）

弹簧类（Spring）是用于模拟弹簧连接的两个质点之间的作用力的关键组件。在这个类中，我们记录了弹簧的基本信息，包括连接的两个质点、弹簧的刚度和长度，以及内部阻尼的影响。下面是对弹簧类中关键成员和方法的说明：

• Mass* mass1， Mass* mass2: 弹簧连接的两个质点。这两个质点受到弹簧作用的力，质点运动受到弹簧力的影响。
• float springConstant: 弹簧的刚度常数。它决定了弹簧对质点施加的力的大小。
• float springLength: 弹簧的静止长度。当两个质点的距离等于静止长度时，弹簧不会施加力。
• float frictionConstant: 弹簧的内部阻尼系数。它描述了弹簧内部摩擦的程度。

以下是弹簧类中的关键方法：

solve(): 解决方法，用于计算弹簧连接的两个质点受到的合力。

1. 首先计算两个质点之间的距离，并根据距离计算弹簧的伸长量。

   float r = springVector.length();

2. 然后根据伸长量和弹簧的刚度常数计算弹簧对质点施加的力。

   • e = springVector / r;：计算弹簧的单位方向向量。springVector 是弹簧两端质点之间的位移向量，通过除以该向量的长度 r，可以得到单位方向向量 e。
   • force += e * (r - springLength) * (-springConstant);：计算弹簧的弹性力。根据胡克定律，弹簧的弹性力与弹簧的伸长量成正比，方向与弹簧的单位方向向量相同。r - springLength 表示当前弹簧的伸长量，乘以弹簧的弹性常数 springConstant，即可得到弹簧的弹性力大小。
   • force += -e * (mass1->vel*e - mass2->vel*e) * frictionConstant;：计算弹簧的摩擦力。摩擦力与两个质点之间的相对速度以及弹簧的内摩擦常数成正比。(mass1->vel*e - mass2->vel*e) 计算了两个质点之间的相对速度在弹簧方向上的分量，然后乘以内摩擦常数 frictionConstant，即可得到摩擦力的大小。

3. 最后，将弹簧力施加到两个质点上，以更新它们的受力状态。

弹簧类是模拟弹性物体运动过程中的关键组件之一，通过模拟弹簧连接的两个质点之间的作用力，我们可以模拟出弹簧在外力作用下的伸缩变形情况，从而实现对弹性物体的模拟。

2.1.3 模拟类（RopeSimulation）

模拟类是整个模拟系统的核心，负责协调质点和弹簧之间的相互作用，并模拟一维弹性物体的运动过程。在模拟类中，我们创建了弹簧数组，并初始化了所有的弹簧。然后，在每个时间步长内，我们通过迭代计算所有弹簧的受力情况，并更新所有质点的位置和速度。下面是对弹簧类中关键成员和方法的说明：

• Spring** springs;：弹簧数组，用于存储所有弹簧对象的指针。

• Vector3D gravitation;：表示重力加速度的向量，将作用于所有质点。

• Vector3D ropeConnectionPos;：绳索连接点的位置向量，用于指定系统中第一个质点的位置。

• Vector3D ropeConnectionVel;：绳索连接点的速度向量，用于移动绳索连接点。

以下是弹簧类中的关键方法：

• RopeSimulation(...) 构造函数：初始化模拟对象。在此构造函数中，我们设置了质点的初始位置，创建了弹簧对象，并将其连接到相应的质点上。

• release() 方法：释放内存，用于删除所有的弹簧对象。

• solve() 方法：计算系统中所有弹簧的受力情况，包括弹簧的弹性力和重力。然后将这些力应用于相应的质点上。

• simulate(float dt) 方法：模拟系统的运动过程。在每个时间步长内，首先调用基类的 simulate() 方法更新所有质点的位置和速度。然后更新绳索连接点的位置。

• setRopeConnectionVel(Vector3D ropeConnectionVel) 方法：设置绳索连接点的速度，用于移动绳索连接点。

通过这些方法，模拟类 RopeSimulation 能够模拟一维弹性物体的运动过程，并在其中考虑了重力、弹簧力以及绳索连接点的运动。

2.1.4 openGL实现

实现了一个基于OpenGL的绳索模拟系统，其中使用了一些物理引擎的概念，如质点、弹簧和重力。

• RopeSimulation* ropeSimulation = new RopeSimulation(...);：创建了一个绳索模拟对象，设置了模拟所需的参数，如质点数量、质点重量、弹簧常数、弹簧长度等。
• void renderScene(void)：渲染函数，绘制绳索模拟系统的图像，包括绳索的线条表示。
  1. 首先，它设置了视图矩阵和模型矩阵，然后清除颜色缓冲区和深度缓冲区。
  2. 接着，调用了 Update() 函数更新模拟系统的状态。
  3. 最后，通过OpenGL的绘图函数 glBegin() 和 glEnd() 绘制了绳索的形状，以线段的形式连接相邻的质点。绘制完成后，刷新绘图管线并交换缓冲区，使绘制结果显示在屏幕上。

这段代码通过OpenGL实现了一个基本的绳索模拟系统，并提供了键盘控制功能，用户可以通过键盘输入控制绳索的运动方向和停止模拟等。

实现效果如下：

2.2 二维弹性物体模拟

接下来我们要实现一个二维的弹性物体——布料，其就是将之前实现的弹性绳子交叉纵横编织成一个网。

2.2.1 模拟类改进

(1) Simulation1 类

Simulation1 类在 Simulation 类的基础上进行了扩展，以支持二维的弹性物体模拟，而不仅仅是一维的质点链。以下是主要的改进：

1. 二维质点数组：在 Simulation 类中，质点存储在一个一维数组中。在 Simulation1 类中，质点存储在一个二维数组中，这使得可以模拟一个二维的弹性物体，如布料。

   Mass*** masses; // In Simulation1
   
   Mass** masses; // In Simulation

2. 构造函数：Simulation1 的构造函数接受两个参数，分别表示二维物体的行数和列数，而 Simulation 的构造函数只接受一个参数，表示一维质点链的长度。

   Simulation1(int numOfMassX, int numOfMassY, float m) // In Simulation1
   
   Simulation(int numOfMasses, float m) // In Simulation

3. 获取质点的方法：Simulation1 类提供了一个新的 getMass(int x, int y) 方法，可以获取二维数组中的任何一个质点。而 Simulation 类只提供了一个 getMass(int index) 方法，只能获取一维数组中的质点。

   Mass* getMass(int x, int y) // In Simulation1
   
   Mass* getMass(int index) // In Simulation

4. 初始化和模拟方法：Simulation1 类的 init() 和 simulate(float dt) 方法都使用了两层循环，以处理二维数组中的所有质点。而 Simulation 类的这两个方法只使用了一层循环，只处理一维数组中的质点。

   for (int i = 0; i < row; ++i)
   	for (int j = 0; j < col; ++j)
   		masses[i][j]->init(); // In Simulation1
   
   for (int a = 0; a < numOfMasses; ++a)
   	masses[a]->init(); // In Simulation

Simulation1 类在 Simulation 类的基础上进行了扩展，以支持二维的弹性物体模拟。

(2) ClothSimulation 类

ClothSimulation类在RopeSimulation类的基础上进行了一些改动以模拟布料的物理行为。以下是一些主要的改动：

1. ClothSimulation类引入了Xlen和Ylen两个变量，它们分别表示布料在X轴和Y轴方向上的质点数量。这与RopeSimulation类不同，后者只需要一个质点数组来模拟一维的绳索。
2. ClothSimulation类的构造函数接受两个额外的参数numOfMassesX和numOfMassesY，它们分别表示布料在X轴和Y轴方向上的质点数量。这与RopeSimulation类的构造函数不同，后者只需要一个参数来表示质点的数量。
3. ClothSimulation类的springs变量是一个四维数组，用于存储布料中的弹簧。每个弹簧都连接着两个相邻的质点。这与RopeSimulation类不同，后者的springs变量是一个二维数组，只需要存储绳索中的弹簧。
4. ClothSimulation类的simulate方法更新了四个角的质点位置（固定了四个角）和速度，以模拟布料的运动。这与RopeSimulation类的simulate方法不同，后者只更新了第一个质点的位置和速度。

2.2.2 openGL 渲染

renderScene() 主要思想是遍历布料模拟中的所有质点，并绘制连接这些质点的弹簧。弹簧的颜色和宽度由其张力决定。

1. 通过两层循环遍历所有质点。每个质点都与其右侧和下方的质点相连，形成一个弹簧。

   if (i < clothSimulation->Xlen - 2) 和 if (j < clothSimulation->Ylen - 2) 这两个条件判断确保了不会尝试访问超出数组范围的质点。

2. 对于每个弹簧，计算其两端质点的距离，以此计算张力。

3. 根据张力计算颜色强度，张力越大，颜色强度越小。

4. 使用OpenGL的函数设置线段的颜色和宽度，然后绘制线段。

这样，就可以在屏幕上绘制出一个由弹簧组成的网格，模拟布料的效果。

2.2.3 鼠标互动

mouse() 和 motion() 主要处理鼠标的点击和移动事件，以便在布料模拟中选择和移动质点。

1. mouse 函数处理鼠标点击事件。当左键被按下时，它会记录鼠标的状态和位置，并将鼠标的屏幕坐标转换为模拟空间的坐标。然后，它会遍历所有的质点，找到距离鼠标位置最近的质点，并记录其位置。当左键被释放时，它会重置鼠标的状态。
2. motion 函数处理鼠标移动事件。当左键被按下时，它会将鼠标的屏幕坐标转换为模拟空间的坐标，并计算出鼠标移动的距离。然后，它会更新被选中质点的位置，使其沿着鼠标移动的方向移动。最后，它会更新鼠标的位置。

这样就可以通过鼠标操作来选择和移动布料模拟中的质点，从而直观地观察和控制布料的运动。

2.2.4 最终实现

最终实现的效果如下：